[Signal Processing] Chapter 2 | Week 2

Euler's Formula

 

Euler's Formula

 

앞서 봤듯 오일러 공식을 이용해 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

좌변을 Complex Exponential라고 부르며, 실수부는 cosine함수, 허수부는 sine함수로 구성됩니다. 이때 진폭, 혹은 원의 반지름은 r입니다. 이때 θ를 ωt(radian frequency)로 치환한다면 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다:

Rotating Vector

 

이는 ωt의 라디안 주파수를 갖고 단위원을 회전하는 점에 대한 식으로 해석할 수 있습니다.

 

cos = REAL PART

 

위 식에서 실수부는 cos함수입니다. 실수부를 나타내는 표현은 Re입니다:

Real part of euler's

 

이때 정현파의 일반식을 가져와서 complex exponential을 이용해 표현해보면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

General Sinusoid in complex exponential

 

예를 들어 다음과 같은 complex exponential 표현을 갖는 경우 다음과 같은 정현파 공식으로 변환할 수 있습니다:

Real part exmaple

 

이때 주의할 점은 Amplitude의 값은 양수여야한다는 점입니다. 그렇기 때문에 (-3j)에서 3을 남기고 지수 표현으로 넘긴것입니다.

 

Complex Amplitude

 

Complex amplitude

 

이때 앞에 있는 Ae^jφ를 complex amplitue라고 표현합니다. 즉 허수표현을 갖는 amplitude라는 의미입니다. 이를 간단하게 X라고 표현하면, X는 complex number입니다. complex amplitude는 A, amplitude에 대한 정보도 갖고 있지만, phase φ에 대한 정보 또한 갖고 있습니다. 그래서 이를 Phasor라고 부르기도 합니다. *phase를 의미하는 φ와는 다른 의미, 또한 Ae^jφ는 원의 회전의 관점에서는 회전이 시작하는 위치와 관련됩니다(Ae^jφ의 polar coordinate 좌표가 회전의 시작 위치). 

 

Phasor Addition

 

우선 complex exponential표현의 장점을 살펴보겠습니다.

 

일반 대수에서 삼각함수의 덧셈 혹은 뺄셈공식은 난해하고, 유도하기 어렵습니다. 하지만 complex exponential을 이용한다면 간단하게 유도할 수 있습니다.

 

만약 cos(θ1+θ2)를 구하고자 한다면, e^j(θ1+θ2)의 실수부 표현을 보면 됩니다.

 

그리고 sin(θ1+θ2)를 알고싶다면 허수부를 보면 알 수 있습니다.이렇게 삼각함수에 대한 다양한 연산들을 지수법칙을 통해 간단하게 표현할 수 있다는 점에서 장점을 갖습니다.

 

다시 돌아와서 만약 정현파끼리의 합을 구하려고 할 때,어떻게 계산할 수 있을까요?

 

만약 같은 주기를 같은 정현파끼리의 합을 구하고자 한다면,어떻게 amplitude와 phase값을 구할 수 있을까요? *참고로 같은 주기를 갖는 정현파끼리의 합의 결과는 하나의 같은 주기를 갖는

정현파로 나타낼 수 있습니다.

Adding SINUSOIDS

 

정답은 complex exponential 표현입니다.

x1의 amplitude를 A1, phase는 φ1

x2의 amplitude를 A2, phase는 φ2

x3의 amplitude를 A3, phase는 φ3

라고 할 때, x3의 complex amplitude는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

 

A3e^jφ3 = A1e^jφ1 + A2e^jφ2

 

*주기는 똑같기 때문에 e^(j*2π(10)t)는 똑같습니다.

 

즉, Complex amplitude 혹은 Phasor의 합 공식은 다음과 같이 유도됩니다:

Phasor addition proof

 

이때 A는 최종 amplitude, φ는 최종 phase를 의미합니다.

 

만약 다음과 같은 정현파 두 개가 주어진다면 다음과 같은 phasor addition이 필요합니다:

example

 

이렇게 표현된 phasor들의 합을 다시 하나의 phasor로 합쳐야하는데, 두 가지 방법이 존재합니다

(1) 해당 complex표현을 vector로 이해하기

→ 이는 1e^j0은 θ=0, r=1인 벡터로, root(3)e^jπ/2는 θ=π/2, r=root(3)인 벡터로 이해한 후, 벡터의 합을 구하는 것입니다. 이를 위해서는 polar coordinate 표현을 cartesian coordinate 표현으로 변환해야합니다. 오일러 공식을 사용해도 좋고, 아래 공식을 통해 변환할 수도 있습니다. 아무 표현이든 벡터 합을 구하기 쉬운 형태로 변환한 후 벡터합을 수행, 그 후 다시 comple exponential 표현으로 변환하면 phasor를 구할 수 있습니다.

cartesian to polar

 

(2) 해당 complex표현을 복소수로 이해하기

→ 운 좋게도 위 표현은 하나의 복소 평면 위의 좌표로 나타낼 수 있습니다(1, root(3)). 그렇기에 그냥 cartesian to polar 공식을 이용해 바로 complex exponential 표현으로 변경해도 좋고, 삼각형으로 접근해도 좋습니다.

Complex addition

 

아무튼 이렇게 phasor를 구했다면 최종 덧셈의 결과 정현파를 구할 수 있습니다.

final