[Signal Processing] Chapter 2 & 3 | Week 2

Euler's Formula

 

Euler's Formula

 

앞서 봤듯 오일러 공식을 이용해 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

좌변을 Complex Exponential라고 부르며, 실수부는 cosine함수, 허수부는 sine함수로 구성됩니다. 이때 진폭, 혹은 원의 반지름은 r입니다. 이때 θ를 ωt(radian frequency)로 치환한다면 다음과 같은 식을 만들 수 있습니다:

Rotating Vector

 

이는 ωt의 라디안 주파수를 갖고 단위원을 회전하는 점에 대한 식으로 해석할 수 있습니다.

 

cos = REAL PART

 

위 식에서 실수부는 cos함수입니다. 실수부를 나타내는 표현은 Re입니다:

Real part of euler's

 

이때 정현파의 일반식을 가져와서 complex exponential을 이용해 표현해보면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

General Sinusoid in complex exponential

 

예를 들어 다음과 같은 complex exponential 표현을 갖는 경우 다음과 같은 정현파 공식으로 변환할 수 있습니다:

Real part exmaple

 

이때 주의할 점은 Amplitude의 값은 양수여야한다는 점입니다. 그렇기 때문에 (-3j)에서 3을 남기고 지수 표현으로 넘긴것입니다.

 

Complex Amplitude

 

Complex amplitude

 

이때 앞에 있는 Ae^jφ를 complex amplitue라고 표현합니다. 즉 허수표현을 갖는 amplitude라는 의미입니다. 이를 간단하게 X라고 표현하면, X는 complex number입니다. complex amplitude는 A, amplitude에 대한 정보도 갖고 있지만, phase φ에 대한 정보 또한 갖고 있습니다. 그래서 이를 Phasor라고 부르기도 합니다. *phase를 의미하는 φ와는 다른 의미, 또한 Ae^jφ는 원의 회전의 관점에서는 회전이 시작하는 위치와 관련됩니다(Ae^jφ의 polar coordinate 좌표가 회전의 시작 위치). 

 

Phasor Addition

 

우선 complex exponential표현의 장점을 살펴보겠습니다.

 

일반 대수에서 삼각함수의 덧셈 혹은 뺄셈공식은 난해하고, 유도하기 어렵습니다. 하지만 complex exponential을 이용한다면 간단하게 유도할 수 있습니다.

 

만약 cos(θ1+θ2)를 구하고자 한다면, e^j(θ1+θ2)의 실수부 표현을 보면 됩니다.

 

그리고 sin(θ1+θ2)를 알고싶다면 허수부를 보면 알 수 있습니다.이렇게 삼각함수에 대한 다양한 연산들을 지수법칙을 통해 간단하게 표현할 수 있다는 점에서 장점을 갖습니다.

 

다시 돌아와서 만약 정현파끼리의 합을 구하려고 할 때,어떻게 계산할 수 있을까요?

 

만약 같은 주기를 같은 정현파끼리의 합을 구하고자 한다면,어떻게 amplitude와 phase값을 구할 수 있을까요? *참고로 같은 주기를 갖는 정현파끼리의 합의 결과는 하나의 같은 주기를 갖는

정현파로 나타낼 수 있습니다.

Adding SINUSOIDS

 

정답은 complex exponential 표현입니다.

x1의 amplitude를 A1, phase는 φ1

x2의 amplitude를 A2, phase는 φ2

x3의 amplitude를 A3, phase는 φ3

라고 할 때, x3의 complex amplitude는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

 

A3e^jφ3 = A1e^jφ1 + A2e^jφ2

 

*주기는 똑같기 때문에 e^(j*2π(10)t)는 똑같습니다.

 

즉, Complex amplitude 혹은 Phasor의 합 공식은 다음과 같이 유도됩니다:

Phasor addition proof

 

이때 A는 최종 amplitude, φ는 최종 phase를 의미합니다.

 

만약 다음과 같은 정현파 두 개가 주어진다면 다음과 같은 phasor addition이 필요합니다:

example

 

이렇게 표현된 phasor들의 합을 다시 하나의 phasor로 합쳐야하는데, 두 가지 방법이 존재합니다

(1) 해당 complex표현을 vector로 이해하기

→ 이는 1e^j0은 θ=0, r=1인 벡터로, root(3)e^jπ/2는 θ=π/2, r=root(3)인 벡터로 이해한 후, 벡터의 합을 구하는 것입니다. 이를 위해서는 polar coordinate 표현을 cartesian coordinate 표현으로 변환해야합니다. 오일러 공식을 사용해도 좋고, 아래 공식을 통해 변환할 수도 있습니다. 아무 표현이든 벡터 합을 구하기 쉬운 형태로 변환한 후 벡터합을 수행, 그 후 다시 comple exponential 표현으로 변환하면 phasor를 구할 수 있습니다.

cartesian to polar

 

(2) 해당 complex표현을 복소수로 이해하기

→ 운 좋게도 위 표현은 하나의 복소 평면 위의 좌표로 나타낼 수 있습니다(1, root(3)). 그렇기에 그냥 cartesian to polar 공식을 이용해 바로 complex exponential 표현으로 변경해도 좋고, 삼각형으로 접근해도 좋습니다.

Complex addition

 

아무튼 이렇게 phasor를 구했다면 최종 덧셈의 결과 정현파를 구할 수 있습니다.

final

 

Chapter 3: Spectrum Representation

 

Spectrum of a Sum of Sinusoids

 

기존에는 서로 같은 주파수를 갖는 정현파의 합에 대해 살펴보았습니다.

한편 서로 다른 주파수를 갖는 정현파의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

Synthesize by Adding Sinusoids

 

이는 시간을 한 축으로 갖는 정현파들의 합을 나타낸 식입니다. 임의의 정현파 개수 k에 대하여 각기 다른 amplitude값 Ak, 각기 다른 주파수값 fk, 각기 다른 phase값 φk로 식을 쓸 수 있습니다.

 

Frequency Diagram

 

Frequency Diagram

 

한편 서로 다른 주파수를 갖는 정현파들의 합을 시간 축이 아닌 주파수를 축으로 하여 나타낼 수 있습니다. 이를 Frequecy Diagram이라고 합니다. 이는 위에서 살펴봤던 x(t) 그래프와 다르게 discrete하게 표현됩니다. 또한 y축은 Amplitude입니다.

 

Euler's Formular Reversed

 

서로 다른 주파수들로 분리하고 합하기에 앞서 우선 complex exponential을 통해 cosine을 표현하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

cosine in complex exponential style

 

기존의 오일러 공식을 활용해 sine을 지워주면 다음과 같이 cosine에 대한 complex exponential 표현을 얻을 수 있습니다. 코사인의 경우 1/2의 amp값을 갖는 양수 주파수와 음수 주파수를 같는 두 complex exponential의 합으로 나타냅니다.

 

이것이 아까 Frequency Diagram에서 그래프가 symmetric하게 나온 이유입니다. 같은 주파수 크기를 갖는 두 양/음수 주파수에 대한 complex exponential의 합.

 

이는 sine함수도 마찬가지입니다.

cosine을 얻는 방법과 같은 방법을 활용하면 sine함수에 대한 complex exponential표현을 얻을 수 있는데 이는 다음과 같습니다.:

Solve for sine

 

sine함수의 경우 Amplitude값은 조금 손 봐야겠지만, 아무튼 양수 주파수를 갖는 exponential과 음수 주파수를 갖는 exponential의 차로 나타낼 수 있습니다.

 

Spectrum of Sine

 

이때 Amplitude는 양의 실수라는 점 때문에 sine의 complex amplitude 혹은 phasor를 조금 수정해야합니다.

다음은 amplitude값 A를 갖는 라디안 주파수 7의 sine함수를 complex exponential의 형태로 수정하는 과정입니다:

Spectrum of Sine

 

허수의 성질(-1 / j = j = e^j0.5π)을 활용하면 결국 cosine과 유사하게 양수 주파수를 갖는 complex exponential과 음수 주파수를 갖는 complex exponential의 합으로 나타낼 수 있습니다. 특이한 점은 양수 주파수를 갖는 경우 phase가 기본적으로 -0.5π를 갖고, 음수 주파수를 갖는 경우 phase가 기본적으로 +0.5π를 갖는다는 점입니다. 이는 sine과 cosine이 위상상 0.5π차이난다는 점에서 이유가 있습니다.

 

Spectrum to Sinusoid

 

만약 다음과 같은 스펙트럼을 갖고 있다면 이를 어떻게 시간 축의 정현파 형태로 나타낼 수 있을까요?

Spectrum to Sinusoid

 

먼저 축의 단위를 살펴보면 라디안 주파수가 아닌 그냥 주파수임을 알 수 있습니다. 즉 100Hz의 주파수를 갖는다면 라디안 주파수로는 2π(100)의 주파수를 갖는것입니다. 따라서 각 spectrum들을 합치면 다음과 같습니다:

add spectrum components