Fourier Series
위 공식은 푸리에 적분 (Fourier series integral)입니다. 이는 periodic signal x(t)에 대해서만 적용할 수 있으며, 이 공식을 통해 푸리에 계수 (Fourier coefficient)를 알 수 있습니다.
이때 푸리에 계수 a_k는 complex amplitude or phasor를 X_k라고 했을 때, a_k = 1/2X_k입니다. 이는 Sepctrum Diagram에서 각 파동들의 amplitude 값입니다.
푸리에 계수를 이용해서 다시 한 번 x(t)를 표현하면 다음과 같습니다.
Harmonic Signal
푸리에는 위 x(t)에 대한 정규식에 대해 k를 -∞ 부터 ∞ 까지의 범위로 확장시켜 생각했습니다. 따라서 아래와 같은 정규식이 나왔습니다:
이는 위 예시의 경우를 생각해보면, f0 = 50Hz입니다. 그렇다면 k=-5, -2, 0, 2, 5 일때는 ak가 0이 아닌 임의의 수가 될 것이고(e.g., 4e^(-jπ/2), 10, ...) 그 나머지 k에 대해서는 ak = 0으로 생각할 수 있습니다. 그렇다면 위 Recall에서 봤던 정규식과 같은 표현이 됩니다.
Straregy: x(t) -> ak
푸리에 적분을 이용하면 x(t)를 이용해서 ak를 구할 수 있습니다. 그렇다면 우선 푸리에 적분에 대한 증명을 하고 넘어가야합니다. 이를 증명할 때 사용할 특징을 먼저 짚고 넘어가겠습니다:
우선 e^-j(2π/T0)mt를 한 주기에 대해 적분하면 결과적으로 0이 나옵니다. *푸리에 적분에서의 적분 범위는 0부터 T0라고 나와있지만 이는 고정된 것이 아니고 한 주기에 대해서만 적분하면 됩니다. 즉, -T0부터 0까지도 가능하며, -T0/2부터 T0/2까지도 가능합니다.
위 풀이 과정을 보면 (e^-j2πm - 1)이 나오는데, e^-j2π는 단위원을 생각했을 때, (1,0)의 위치에 점을 표현하는 polar coordinate입니다. 즉, e^-j2π는 1 + j0이 되어, (e^-j2πm - 1) = 0이 되는 것입니다. 단 이때 m이 분모에 위치하고 있으므로 m!=0이며, m은 integer, 즉 정수여야합니다.
사실 이는 어떻게 보면 당연합니다. e^-j(2π/T0)mt도 시간에 따른 주기 함수이고, 이는 cosine과 sine함수의 합으로 이루어져있습니다. 이를 한 주기동안 적분한다면, 당연히 그 넓이는 cosine도 0, sine도 0이 나와 최종 결과도 0이 나오는 것입니다.
Orthogonal of exp(j)
그렇다면 exp(+j)와 exp(-j)를 곱한 것을 적분하면 어떻게 될까요?
만약 임의의 정수 k, l에 대해서 다음과 같이 적분했다면, 이는 아래와 같이 정리할 수 있습니다:
이때 다시 (l-k)를 m으로 치환한다면, 이전에도 봤듯이 m이 0이 아닌 임의의 값이라면, 그 결과는 0이 나올 것입니다. 만약 l-k = m = 0이라면, 위 적분은 1/T0*∫1dt가 되어 결과는 1이 나옵니다.
정리하면 다음과 같습니다:
이를 해석해보자면, 같은 크기의 양과 음의 주파수를 갖는 두 정현파의 곱을 한 주기에 대해 적분한다면 결과는 T0가 나오게 되며, 같은 크기를 갖지 않는 양과 음의 주파수를 갖는 두 정현파의 곱을 적분한다면 결과가 0이 나오게됩니다.
Isolate One FS Coefficient
위 증명은 푸리에 적분이 옳다고 가정한 후, 이것이 참임을 증명함으로써 푸리에 적분을 증명하는 것입니다. 쭈욱 식을 전개하다가 마지막에 ∑ak = al인 부분만 설명을 잠깐 해보자면.
-∞부터 ∞까지의 임의의 정수 k에 대해서 어떤 임의의 정수 l과 같을 때만 integral의 값이 1이 나오기 때문에, k=l인 부분에 대해서만 ak값이 살아남고, 나머지는 0으로 바뀌게 됩니다. 즉 ∑ak = ... + 0 + 0 + ... + al + 0 + ... 인 것입니다.
Fourier Series Integral (Analysis)
푸리에 적분에 대한 증명을 끝났고, 이를 이용해서 임의의 주기함수 x(t)를 분석해보겠습니다.참고로 만약 k=0인 경우는 1/T0*∫x(t)dt 로 이는 x(t)의 평균값이 됩니다. 그리고 그 평균값은 DC component가 됩니다.
예를 들어 x(t) = {sin(3πt)}^3인 경우,
위 풀이과정을 통해 다음과 같이 complex exponential의 합으로 이루어진 x(t)를 구할 수 있습니다:
이를 다시 Spectrum diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
위 다이어그램을 분석해보자
첫 번째 9π의 라디안 주파수를 갖는 component를 보면, j는 단위원을 생각해봤을 때 (0,1)이므로 e^jπ/2라고 볼 수 있습니다. 그렇다면 Amplitude는 1/8이 되고 9π가 라디안 주파수로 이는 2π(4.5), 즉 주파수는 4.5Hz임을 알 수 있습니다.
정리하면 1/8 * e^jπ/2 * e^j2π(4.5)t 인 것입니다. f0는 1.5이기 때문에, k=3입니다.
두 번째 3π의 라디안 주파수를 갖는 component를 보면, -j는 단위원을 생각해봤을 때 (0,1-)이므로 e^-jπ/2라고 볼 수 있습니다. 그렇다면 Amplitude는 3/8이 되고 3π가 라디안 주파수로 이는 2π(1.5), 즉 주파수는 1.5Hz임을 알 수 있습니다.
정리하면 3/8 * e^-jπ/2 * e^j2π(1.5)t 인 것입니다. f0는 1.5이기 때문에, k=1입니다.
위 예시는 깔끔하게 ak가 구해지는 경우입니다.
그렇다면 진짜 예시를 가져오겠습니다:
0.04초의 주기를 갖는 디지털 신호입니다. 이를 푸리에 적분을 이용해서 ak를 분석하면 다음과 같습니다:
중간에 e^-j(π)는 단위원을 생각해보면 (-1, 0)이기에 -1 + j0입니다. 즉 e^-j(π)k = (-1)^k입니다.
이제는 k=0일 때, DC component를 구해보겠습니다:
이를 k에 대해 정리하면 다음과 같습니다:
이를 Spectrum Diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
k의 개수는 무한대입니다. 즉 정확하게 이를 표현할 수는 없고 k의 개수를 유한개로 조절하여 근사치로 구해야합니다. 이때 -N부터 N까지의 푸리에 계수를 사용할때 x(t)를 x_N(t)라고 하며 식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
위 과정을 하나의 그림으로 나타내면 다음과 같습니다:
N=3까지만 해서 추정을 해보면 다음과 같습니다:
조금 더 정확하게 추정하기 위해 N=7까지로 설정하면 다음과 같습니다:
이를 N=17까지로 확장하면 다음과 같습니다:
Gibbs' Phenomenon
이때 x(t)와 같이 불연속이 발생하는 지점에서 Gibbs' Phenomenon을 발견할 수 있습니다. 이는 그래프가 원래 그래프보다 더 크게 움직여 overshoot이 발생하는 현상이며 위 예시의 경우 9%정도의 overshoot이 발생했습니다:
Time-Frequency Sepctrum
하지만 현실의 문제는 시간에 따라 주파수가 같은 문제가 아닙니다. 시간에 따라 주파수가 달리지는 문제이며 이를 나타내기 위해서는 x축을 시간으로 하며, y축을 주파수로 하는 그래프가 필요합니다. 이를 Spectrogram이라고 부릅니다.
아래의 그림은 C-major의 spectrogram입니다 (이상적인 상황):
하지만 실제 C장조를 측정해보면 다음과 같습니다:
위 그림에서 알 수 있듯, 불연속이 나타나는 지점에서 artifacts가 발생함을 알 수 있습니다. 그리고 이것이 분석을 방해하는 요소가 됩니다.
아래의 그림은 베토벤의 운명을 spectrogram으로 나타낸 그림입니다:
Spectrogram Example
AM은 Amplitude Modulation의 약자로 보내고픈 신호를 긴 주파수를 갖는 파동으로 감싸 안정적으로 신호를 보내는 기술입니다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.
이는 두 정현파의 곱으로 이뤄집니다. 왼쪽의 그림은 이를 Spectrogram으로 분석한 결과인데 어떻게 구할 수 있을까요?
AM Radio Signal
두 정현파를 complex exponential의 형태로 변형해준 다음,
곱을 수행해주면 다음과 같이 두 주파수의 합과 차에 해당하는 주파수를 갖는 두 정현파가 나옵니다:
이를 Spectrum diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
*참고로 f0는 24Hz입니다.
Frequency Modulation (Time-Varing Frequency)
Frequency Modulation (FM)은 시그널을 보내는 방법 중 하나입니다. 이는 시간에 따라 변하는 주파수를 이용해 소통합니다. 이때의 정규식은 다음과 같습니다:
New signal: Linear FM
만약 선형으로 변하는 주파수를 표현하고 싶다면 다음과 같은 시그널을 보내면 됩니다.
즉, 시간의 제곱을 이용해서 주파수를 표현하면 됩니다. 이것이 어떻게 시간에 따라 선형적으로 주파수가 늘어나는지를 나타낼까요?
Instantaneous Frequecy
cos() 안에 있는 시간에 대한 함수를 psi(t) 라고 할때, 라디안 주파수 w(t)는 dpsi(t)/dt입니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다:
이를 이용해 시간에 대한 제곱식 psi를 시간에 대해 미분해서 라디안 주파수를 구하면 다음과 같습니다:
이를 시간에 따른 주파수의 변화로 그림을 그려보면 다음과 같습니다. *이렇게 구한 주파수는 radian주파수이기에 1/2pie를 통해 Hz단위로 변경한 후 그래프를 그렸습니다.
이를 시간에 따른 주파수로 그림을 그려보면 다음과 같습니다:
시간이 지남에 따라 주기가 점점 줄어드는 모습을 볼 수 있습니다.
Other Chirps
만약 주파수가 시간에 따라 주기를 갖으며 변하는 주파수를 만들고 싶다면 다음과 같습니다:
이를 spectrogram으로 나타내면 다음과 같습니다:
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Fourier Series
위 공식은 푸리에 적분 (Fourier series integral)입니다. 이는 periodic signal x(t)에 대해서만 적용할 수 있으며, 이 공식을 통해 푸리에 계수 (Fourier coefficient)를 알 수 있습니다.
이때 푸리에 계수 a_k는 complex amplitude or phasor를 X_k라고 했을 때, a_k = 1/2X_k입니다. 이는 Sepctrum Diagram에서 각 파동들의 amplitude 값입니다.
푸리에 계수를 이용해서 다시 한 번 x(t)를 표현하면 다음과 같습니다.
Harmonic Signal
푸리에는 위 x(t)에 대한 정규식에 대해 k를 -∞ 부터 ∞ 까지의 범위로 확장시켜 생각했습니다. 따라서 아래와 같은 정규식이 나왔습니다:
이는 위 예시의 경우를 생각해보면, f0 = 50Hz입니다. 그렇다면 k=-5, -2, 0, 2, 5 일때는 ak가 0이 아닌 임의의 수가 될 것이고(e.g., 4e^(-jπ/2), 10, ...) 그 나머지 k에 대해서는 ak = 0으로 생각할 수 있습니다. 그렇다면 위 Recall에서 봤던 정규식과 같은 표현이 됩니다.
Straregy: x(t) -> ak
푸리에 적분을 이용하면 x(t)를 이용해서 ak를 구할 수 있습니다. 그렇다면 우선 푸리에 적분에 대한 증명을 하고 넘어가야합니다. 이를 증명할 때 사용할 특징을 먼저 짚고 넘어가겠습니다:
우선 e^-j(2π/T0)mt를 한 주기에 대해 적분하면 결과적으로 0이 나옵니다. *푸리에 적분에서의 적분 범위는 0부터 T0라고 나와있지만 이는 고정된 것이 아니고 한 주기에 대해서만 적분하면 됩니다. 즉, -T0부터 0까지도 가능하며, -T0/2부터 T0/2까지도 가능합니다.
위 풀이 과정을 보면 (e^-j2πm - 1)이 나오는데, e^-j2π는 단위원을 생각했을 때, (1,0)의 위치에 점을 표현하는 polar coordinate입니다. 즉, e^-j2π는 1 + j0이 되어, (e^-j2πm - 1) = 0이 되는 것입니다. 단 이때 m이 분모에 위치하고 있으므로 m!=0이며, m은 integer, 즉 정수여야합니다.
사실 이는 어떻게 보면 당연합니다. e^-j(2π/T0)mt도 시간에 따른 주기 함수이고, 이는 cosine과 sine함수의 합으로 이루어져있습니다. 이를 한 주기동안 적분한다면, 당연히 그 넓이는 cosine도 0, sine도 0이 나와 최종 결과도 0이 나오는 것입니다.
Orthogonal of exp(j)
그렇다면 exp(+j)와 exp(-j)를 곱한 것을 적분하면 어떻게 될까요?
만약 임의의 정수 k, l에 대해서 다음과 같이 적분했다면, 이는 아래와 같이 정리할 수 있습니다:
이때 다시 (l-k)를 m으로 치환한다면, 이전에도 봤듯이 m이 0이 아닌 임의의 값이라면, 그 결과는 0이 나올 것입니다. 만약 l-k = m = 0이라면, 위 적분은 1/T0*∫1dt가 되어 결과는 1이 나옵니다.
정리하면 다음과 같습니다:
이를 해석해보자면, 같은 크기의 양과 음의 주파수를 갖는 두 정현파의 곱을 한 주기에 대해 적분한다면 결과는 T0가 나오게 되며, 같은 크기를 갖지 않는 양과 음의 주파수를 갖는 두 정현파의 곱을 적분한다면 결과가 0이 나오게됩니다.
Isolate One FS Coefficient
위 증명은 푸리에 적분이 옳다고 가정한 후, 이것이 참임을 증명함으로써 푸리에 적분을 증명하는 것입니다. 쭈욱 식을 전개하다가 마지막에 ∑ak = al인 부분만 설명을 잠깐 해보자면.
-∞부터 ∞까지의 임의의 정수 k에 대해서 어떤 임의의 정수 l과 같을 때만 integral의 값이 1이 나오기 때문에, k=l인 부분에 대해서만 ak값이 살아남고, 나머지는 0으로 바뀌게 됩니다. 즉 ∑ak = ... + 0 + 0 + ... + al + 0 + ... 인 것입니다.
Fourier Series Integral (Analysis)
푸리에 적분에 대한 증명을 끝났고, 이를 이용해서 임의의 주기함수 x(t)를 분석해보겠습니다.참고로 만약 k=0인 경우는 1/T0*∫x(t)dt 로 이는 x(t)의 평균값이 됩니다. 그리고 그 평균값은 DC component가 됩니다.
예를 들어 x(t) = {sin(3πt)}^3인 경우,
위 풀이과정을 통해 다음과 같이 complex exponential의 합으로 이루어진 x(t)를 구할 수 있습니다:
이를 다시 Spectrum diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
위 다이어그램을 분석해보자
첫 번째 9π의 라디안 주파수를 갖는 component를 보면, j는 단위원을 생각해봤을 때 (0,1)이므로 e^jπ/2라고 볼 수 있습니다. 그렇다면 Amplitude는 1/8이 되고 9π가 라디안 주파수로 이는 2π(4.5), 즉 주파수는 4.5Hz임을 알 수 있습니다.
정리하면 1/8 * e^jπ/2 * e^j2π(4.5)t 인 것입니다. f0는 1.5이기 때문에, k=3입니다.
두 번째 3π의 라디안 주파수를 갖는 component를 보면, -j는 단위원을 생각해봤을 때 (0,1-)이므로 e^-jπ/2라고 볼 수 있습니다. 그렇다면 Amplitude는 3/8이 되고 3π가 라디안 주파수로 이는 2π(1.5), 즉 주파수는 1.5Hz임을 알 수 있습니다.
정리하면 3/8 * e^-jπ/2 * e^j2π(1.5)t 인 것입니다. f0는 1.5이기 때문에, k=1입니다.
위 예시는 깔끔하게 ak가 구해지는 경우입니다.
그렇다면 진짜 예시를 가져오겠습니다:
0.04초의 주기를 갖는 디지털 신호입니다. 이를 푸리에 적분을 이용해서 ak를 분석하면 다음과 같습니다:
중간에 e^-j(π)는 단위원을 생각해보면 (-1, 0)이기에 -1 + j0입니다. 즉 e^-j(π)k = (-1)^k입니다.
이제는 k=0일 때, DC component를 구해보겠습니다:
이를 k에 대해 정리하면 다음과 같습니다:
이를 Spectrum Diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
k의 개수는 무한대입니다. 즉 정확하게 이를 표현할 수는 없고 k의 개수를 유한개로 조절하여 근사치로 구해야합니다. 이때 -N부터 N까지의 푸리에 계수를 사용할때 x(t)를 x_N(t)라고 하며 식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
위 과정을 하나의 그림으로 나타내면 다음과 같습니다:
N=3까지만 해서 추정을 해보면 다음과 같습니다:
조금 더 정확하게 추정하기 위해 N=7까지로 설정하면 다음과 같습니다:
이를 N=17까지로 확장하면 다음과 같습니다:
Gibbs' Phenomenon
이때 x(t)와 같이 불연속이 발생하는 지점에서 Gibbs' Phenomenon을 발견할 수 있습니다. 이는 그래프가 원래 그래프보다 더 크게 움직여 overshoot이 발생하는 현상이며 위 예시의 경우 9%정도의 overshoot이 발생했습니다:
Time-Frequency Sepctrum
하지만 현실의 문제는 시간에 따라 주파수가 같은 문제가 아닙니다. 시간에 따라 주파수가 달리지는 문제이며 이를 나타내기 위해서는 x축을 시간으로 하며, y축을 주파수로 하는 그래프가 필요합니다. 이를 Spectrogram이라고 부릅니다.
아래의 그림은 C-major의 spectrogram입니다 (이상적인 상황):
하지만 실제 C장조를 측정해보면 다음과 같습니다:
위 그림에서 알 수 있듯, 불연속이 나타나는 지점에서 artifacts가 발생함을 알 수 있습니다. 그리고 이것이 분석을 방해하는 요소가 됩니다.
아래의 그림은 베토벤의 운명을 spectrogram으로 나타낸 그림입니다:
Spectrogram Example
AM은 Amplitude Modulation의 약자로 보내고픈 신호를 긴 주파수를 갖는 파동으로 감싸 안정적으로 신호를 보내는 기술입니다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.
이는 두 정현파의 곱으로 이뤄집니다. 왼쪽의 그림은 이를 Spectrogram으로 분석한 결과인데 어떻게 구할 수 있을까요?
AM Radio Signal
두 정현파를 complex exponential의 형태로 변형해준 다음,
곱을 수행해주면 다음과 같이 두 주파수의 합과 차에 해당하는 주파수를 갖는 두 정현파가 나옵니다:
이를 Spectrum diagram으로 나타내면 다음과 같습니다:
*참고로 f0는 24Hz입니다.
Frequency Modulation (Time-Varing Frequency)
Frequency Modulation (FM)은 시그널을 보내는 방법 중 하나입니다. 이는 시간에 따라 변하는 주파수를 이용해 소통합니다. 이때의 정규식은 다음과 같습니다:
New signal: Linear FM
만약 선형으로 변하는 주파수를 표현하고 싶다면 다음과 같은 시그널을 보내면 됩니다.
즉, 시간의 제곱을 이용해서 주파수를 표현하면 됩니다. 이것이 어떻게 시간에 따라 선형적으로 주파수가 늘어나는지를 나타낼까요?
Instantaneous Frequecy
cos() 안에 있는 시간에 대한 함수를 psi(t) 라고 할때, 라디안 주파수 w(t)는 dpsi(t)/dt입니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다:
이를 이용해 시간에 대한 제곱식 psi를 시간에 대해 미분해서 라디안 주파수를 구하면 다음과 같습니다:
이를 시간에 따른 주파수의 변화로 그림을 그려보면 다음과 같습니다. *이렇게 구한 주파수는 radian주파수이기에 1/2pie를 통해 Hz단위로 변경한 후 그래프를 그렸습니다.
이를 시간에 따른 주파수로 그림을 그려보면 다음과 같습니다:
시간이 지남에 따라 주기가 점점 줄어드는 모습을 볼 수 있습니다.
Other Chirps
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